Fibonacci

fibonacciLeonardo von Pisa, genannt Fibonacci wurde zwischen 1170 und 1180 in Pisa geboren. Bekannt wurde er unter dem Namen Fibonacci, was eine Verkürzung von “Filius Bonacci”, also “Sohn des Bonacci” ist. Über sein Leben ist fast nichts bekannt.

Die Schaffung eines auf dem Positionssystem beruhenden dezimalen Stellenwertsystems ist eine der bedeutendsten kulturellen Leistungen der indischen Völker. Das indische System ist in Bagdad im 8. Jahrhundert bekannt. Die Araber greifen dieses indische System auf und dadurch, daß der größte Teil Spaniens von den Arabern beherrscht wird, gelangen die indischen Ideen auch nach Europa und wurden auch den lateinischen Gelehrten bekannt.

Den entscheidenden Durchbruch der ‘indischen Rechenweise’ geschieht durch das Buch ‘Liber abbaci’ (1202) von Leonardo von Pisa. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika lernte er die arabische Wissenschaft bald kennen und er verwendet konsequent die indisch-arabischen Ziffern und zeigt damit auch die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems auf.

In immer schnellerem Tempo beginnen jetzt die indischen Rechenverfahren in das Rechnungswesen der Kaufleute und damit der Schulstuben einzudringen. Die ‘Practica geometriae’ (1220) verbreitete die arabischen Ziffern und die indischen Rechenverfahren in Europa. Die Annäherung an pi wurden mit 864/275 (=3.14182) und mit 1440/458.33 (=3.14182) angegeben. Die in diesen Büchern behandelten zahlentheoretischen Probleme und die angegebenen Lösungsverfahren gingen erstmals über die Kenntnisse der arabischen (und auch des griechischen) Kulturkreises hinaus.

Auch dürfte Leonardo von Pisa, wenn auch sehr vorsichtig, negative Zahlen – als Schulden veranschaulicht haben.

Bereits 1202 entstand auch die Fibonacci-Zahlenfolge für die er noch heute bekannt ist. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, ……. oder allgemein xn+2 = xn+1 + xn

Fibonacci-Gesetzmässigkeiten

Bei der einfachsten der wechselständigen Blattstellungen, der zweizeiligen, stehen die Blätter von oben gesehen in Winkeln von 180°. An den aufeinanderfolgenden Knoten stehen die Blätter also abwechselnd links und rechts. Diese Beblätterung finden wir bei vielen Einkeimblättrigen (Gräser, Schwertlilie, Lauch, Salomonssiegel). Unter den Zweikeimblättrigen sind es Ulmen, viele Schmetterlingsblütler, Hasel, Linde, Buche, u.a.

Wechselständige Blätter sind am Stängel stets in regelmässigen Mustern angeordnet, die am besten bei Betrachtung des Sprosses von oben zu erkennen sind. In den meisten Fällen wird deutlich, dass sie in Form einer Schraube angeordnet sind und dass zwischen aufeinanderfolgenden Blättern stets gleiche Winkel (Divergenzwinkel) messbar sind. Im einfachsten Fall – wie oben beschrieben – beträgt dieser Winkel 180°. Es kommen aber auch andere Winkel vor: 120 Grad (= 1/3 Vollkreis) oder 144 Grad (= 2/5, d.h. 5 Blätter verteilen sich auf zwei Vollkreise = 720 Grad : 5 Blätter) oder 135 Grad (=3/8, 8 Blätter auf drei Vollkreise) usw.
Diese werden können aus der Fibonacci-Reihe abgeleitet werden. Fibonacci, dessen eigentlicher Name Leonardo von Pisa ist, wurde zwischen 1170 und 1180 geboren. In seinem Buch Liber Abaci tauchte folgende Frage auf:
“Wir beginnen mit einem einzigen Paar Kaninchen. Wenn in jedem Monat jedes fruchtbare Paar ein neues Paar zur Welt bringt, das nach einem Monat geschlechtsreif wird und einen Monat später Junge in die Welt setzt – wieviele Kaninchen leben dann nach n Monaten?”
Es werden also folgende Annahmen gemacht:
– Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von zwei Monaten fortpflanzungsfähig.
– Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein neues Paar zur Welt.
– Kein Kaninchen stirbt während des beobachteten Zeitraumes.

Monat
Anzahl Adulte
Anzahl Neugeborene
Anzahl Einmonatige
Total
0
1
1
0
2
1
1
1
1
3
2
2
2
1
5
3
3
3
2
8
4
5
5
3
13
5
8
8
5
21
6
13
13
8
34
7
21
21
13
55
8
34
34
21
89

Wenn man die Anzahl lebender Kaninchenpaare in jedem Monat aufschreibt, so ergibt sich die Folge der Fibonacci-Zahlen.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

Das Bildungsgesetz dieser Zahlen ist einfach: Man addiert die beiden vorangehenden Glieder und erhält das nächste Glied.
Zählt man nun die Anzahl Blätter pro Umgang verschiedener Pflanzen, kommt man auf folgende erstaunliche Zusammenhänge: Alle wechselständigen Pflanzen leiten sich von der Fibonacci-Reihe ab und zwar so, dass ein ein sogenannter Divergenzbruch gebildet wird aus dem vorangehenden und dem übernächsten Glied der Fibonacci-Reihe.

1/2 , 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89

Vertreter Anzahl Blätter pro Umgang Winkel
Divergenzbruch Divergenzwinkel
Lauch, Süssgräser, Iris 1/2 180°
Weisser Germer, Sauergräser 1/3 120°
Rose, Hasel 2/5 144°
Aster, Plantago 3/8 135°
Hauswurz, Pinus Zapfen 5/13 138.5°
?? 8/21 137°

Grenzwinkel (für n=?) (n-1)/(n+1) 137.3°

Der Divergenzbruch, welcher die Blattstellung vieler Pflanzen beschreibt, nähert sich im Laufe der Reihe einem bestimmten Wert an: der Dezimalzahl 0,382. Diese wiederum entspricht genau dem Wert, den man erhält, wenn man eine Strecke nach dem goldenen Schnitt teilt. Dabei verhält sich das längere Teilstück zur Gesamtlänge genauso, wie das kürzere Stück zum längeren.
In Winkelgrade umgerechnet heisst das, dass ein Grenzwert, der bei etwa 137.3° liegt, erreicht wird, und der wiederum ist dafür bekannt, dass er einen Kreisbogen nach dem goldenen Schnitt teilt.
Der Vorteil regelmässiger Anordnung der Blätter liegt darin, eine möglichst hohe Lichtausbeute zu erreichen.

Entspringen alle Blätter auf Bodenhöhe, so spricht man von einer grundständigen Blattrosette (Löwenzahn, Hauswurz, viele Steinbrechgewächse). Diese Rosetten haben Blätter, welche oft einen Divergenzwinkel nahe dem goldenen Winkel aufweisen. Damit sind die Einzelblätter auch optimal sichtbar angeordnet.

Rosette Wegerich und erklärendes Schema:

wegerich4wegerich_schem

Sonnenblume und Schema

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