Jakob Bernoulli (1654 – 1705)

Jakob BernoulliJacob Bernoullis Vorfahren verdienten viel Geld mit dem Gewürzhandel. Geschäfte hatten sie in Basel und in Amsterdam.

Die Bernullis waren Flüchtlinge aus Belgien. Sie mussten vor dem Zorn des Spanischen Königs Philipp fliehen. Es ging darum, den römischen Katholizismus durchzusetzen. Die Bernullis waren Protestanten.

Vater Nicolaus Bernoulli war ein wichtiger Bürger von Basel, Mitglied des Stadtrats und Magistrat. Jacob Bernoullis Mutter stammte aus einer einflussreichen Basler Bankiersfamilie.

Jacob Bernoulli war der Bruder von Johann Bernoulli und der Onkel von Daniel Bernoulli.

Sein Vater zwang ihn Philosophie und Theologie bei den Eltern zu studieren, was er gar nicht mochte. 1671 schloss er sein Studium an der Universität Basel mit einem Master in Philosophie und 1676 mit einem Lizentiat in Theologie ab.

Gleichzeitig studierte er gegen den Willen seiner Eltern Mathematik und Astronomie. Es ist  ein typisches Muster der Bernoulli-Familie, trotz des Drucks ein Studium der Mathematik zu betrieben. Jacob Bernoulli war jedoch der erste, der diesen Weg beschritt. Für ihn gab es keine Mathematik-Tradition. Spätere Mitglieder der Familie müssen stark von der Tradition des Studiums der Mathematik und der mathematischen Physik beeinflusst gewesen sein.

Nach seinem Theologiestudium zog Bernoulli 1676 nach Genf, wo er als Tutor arbeitete. Er reiste dann nach Frankreich und verbrachte zwei Jahre mit den Anhängern von Descartes, die zu dieser Zeit von Malebranche geführt wurden. 1681 reiste Bernoulli in die Niederlande, wo er viele Mathematiker traf, darunter auch Hudde. Er setzte seine Studien bei den führenden Mathematikern und Wissenschaftlern Europas fort und ging nach England, wo er unter anderem Boyle und Hooke traf. Zu dieser Zeit war er zutiefst interessiert an Astronomie und produzierte eine Arbeit mit einer falschen Theorie zu den Kometen. Als Folge seiner Reisen begann Bernoulli eine Korrespondenz mit vielen Mathematikern, die er über viele Jahre hinweg fortführte.

Jacob Bernoulli kehrte ab 1683 in die Schweiz zurück und lehrte an der Universität Basel Mechanik. Er hielt eine Reihe wichtiger Vorlesungen über die Mechanik von Festkörpern und Flüssigkeiten. Seit seinem Abschluss in Theologie wäre es für ihn selbstverständlich gewesen, sich an die Kirche zu wenden, aber obwohl ihm ein Termin in der Kirche angeboten wurde, lehnte er ab. Bernoulli liebte Mathematik und theoretische Physik und lehrte und erforschte diese Themen. Während dieser Zeit studierte er die führenden mathematischen Werke seiner Zeit einschliesslich Descartes Géométrie und van Schootens Zusatzmaterial aus der lateinischen Ausgabe. Jacob Bernoulli hat auch die Arbeiten von Wallis und Barrow studiert und begann sich deswegen für die infinitesimale Geometrie zu interessieren. Jacob begann in der Zeitschrift “Acta Eruditorum” zu publizieren, die 1682 in Leipzig gegründet wurde.

1684 heiratete Jacob Bernoulli Judith Stupanus. Sie sollten zwei Kinder haben, einen Sohn, dem der Grossvater Nicolaus und eine Tochter genannt wurde. Diese Kinder wurden im Gegensatz zu vielen anderen Mitgliedern der Bernoulli-Familie nicht zu Mathematikern oder Physikern.

Eines der bedeutendsten Ereignisse bezüglich der mathematischen Studien von Jacob Bernoulli ereignete sich, als sein jüngerer Bruder Johann Bernoulli anfing, an mathematischen Themen zu arbeiten. Johann Bernoulli wurde von seinem Vater angewiesen, Medizin zu studieren, aber während er dieses Thema studierte, bat er seinen Bruder Jacob Bernoulli, ihm Mathematik beizubringen. Jacob Bernoulli wurde 1687 Professor für Mathematik in Basel und die beiden Brüder begannen, das von Leibniz in seinem 1684 erschienene Aufsatz über die Differentialrechnung in Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus … in Acta Eruditorum präsentierte Kalkül zu studieren. Sie untersuchten auch die Veröffentlichungen von von Tschirnhaus. Es muss klar sein, dass Leibniz ‘Veröffentlichungen über die Infinitesimalrechnung den Mathematikern jener Zeit sehr unbekannt waren und die Bernoullis als erste versuchten, Leibniz’ Theorien zu verstehen und anzuwenden.

Obwohl Jacob und Johann Bernoulli beide an ähnlichen Problemen arbeiteten, sollte sich ihre Beziehung bald von einem der Kollaborateure zu einem der Rivalen ändern. Johann Bernoullis Prahlereien waren die erste Ursache für Jakobs Angriffe auf ihn, und Jakob schrieb, dass Johann sein Schüler war, dessen einzige Erfolge darin bestanden, zu wiederholen, was sein Lehrer ihm beigebracht hatte. Natürlich war das eine grob unfaire Aussage. Jacob Bernoulli attackierte seinen Bruder vor allem nach 1697 in schändlicher und unnötiger Weise weiterhin in gedruckter Form. Allerdings schützte er die öffentliche Kritik an seinem Bruder nicht. Er war kritisch gegenüber den Universitätsbehörden in Basel und wieder sehr öffentlich in kritischen Äußerungen, die ihn erwartungsgemäß in eine schwierige Situation an der Universität brachten. Jacob hatte wahrscheinlich das Gefühl, dass Johann der mächtigere Mathematiker der beiden war, und dieser Schmerz, da Jakobs Natur bedeutete, dass er immer fühlen musste, dass er Lob von allen Seiten gewann. Hofmann schreibt in [1]: –

Sensibilität, Gereiztheit, eine gegenseitige Neigung zur Kritik und ein übertriebenes Bedürfnis nach Anerkennung entfremdeten die Brüder, von denen Jacob den langsameren, aber tieferen Intellekt hatte.
Wie in diesem Zitat angedeutet, waren die Brüder in ihrem Streit gleichermaßen schuld. Johann Bernoulli hätte gerne den Lehrstuhl für Mathematik in Basel, den Jakob innehatte, und er ärgerte sich sicherlich darüber, 1695 nach Holland ziehen zu müssen. Dies war ein weiterer Faktor für den völligen Zusammenbruch der Beziehungen im Jahre 1697.
Natürlich war der Streit zwischen den Brüdern darüber, wer die größte Anerkennung erhalten konnte, besonders dumm in dem Sinne, dass beide Beiträge zur Mathematik von größter Wichtigkeit waren. Ob die Rivalität sie zu größeren Dingen angespornt hat oder ob sie vielleicht mehr erreicht hätten, wenn sie ihre ursprüngliche Zusammenarbeit fortgesetzt hätten, ist unmöglich zu sagen. Wir wollen nun einige der wichtigsten Beiträge von Jacob Bernoulli in einem wichtigen Stadium der Entwicklung der Mathematik nach Leibniz ‘Arbeiten zur Infinitesimalrechnung untersuchen.

Jacob Bernoulli’s erste wichtige Beiträge waren eine Broschüre über die Parallelen von Logik und Algebra, die 1685 veröffentlicht wurde, 1685 über die Wahrscheinlichkeitsrechnung und 1687 über die Geometrie. Sein Geometrieergebnis ergab eine Konstruktion, um jedes Dreieck in vier gleiche Teile mit zwei senkrechten Linien zu teilen.

Bis 1689 hatte er wichtige Arbeiten über unendliche Reihen veröffentlicht und sein Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie veröffentlicht. Die Interpretation der Wahrscheinlichkeit als relative Frequenz besagt, dass, wenn ein Experiment viele Male wiederholt wird, die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis auftritt, gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist. Das Gesetz der großen Zahlen ist eine mathematische Interpretation dieses Ergebnisses. Jacob Bernoulli veröffentlichte zwischen 1682 und 1704 fünf Abhandlungen über unendliche Reihen. Die ersten beiden enthielten viele Ergebnisse, wie das fundamentale Ergebnis, dass Σ (1 / n) divergierte, was Bernoulli für neu hielt, aber Mengoli 40 Jahre lang bewiesen hatte vorhin. Bernoulli konnte keine geschlossene Form für Σ (1 / n2) finden, aber er zeigte, dass er auf eine endliche Grenze von weniger als 2 konvergierte. Euler fand 1737 als erster die Summe dieser Reihe. Bernoulli untersuchte auch die Exponentialreihe kam aus der Untersuchung von Zinseszinsen.

Im Mai 1690 zeigte Jacob Bernoulli in einer in Acta Eruditorum veröffentlichten Arbeit, dass das Problem der Bestimmung der Isochrone der Lösung einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung gleichwertig ist. Die Isochrone oder Kurve mit konstantem Abstieg ist die Kurve, entlang der ein Teilchen unter der Schwerkraft von jedem Punkt zum Boden in genau der gleichen Zeit absinkt, unabhängig vom Ausgangspunkt. Es wurde 1687 von Huygens und 1689 von Leibniz untersucht. Nachdem Bernoulli die Differentialgleichung gefunden hatte, löste er sie durch eine Trennung, die wir heute als Trennung von Variablen bezeichnen. Jacob Bernoullis Aufsatz von 1690 ist wichtig für die Geschichte der Infinitesimalrechnung, da der Integralbegriff zum ersten Mal mit seiner Integrationsbedeutung erscheint. Im Jahr 1696 löste Bernoulli die Gleichung, die jetzt “Bernoulli-Gleichung” genannt wird,

y ‘= p (x) y + q (x) yn

und Hofmann beschreibt diesen Teil seiner Arbeit als: –

… der Nachweis von Bernoullis sorgfältiger und kritischer Arbeit über ältere und zeitgenössische Beiträge zur infinitesimalen Mathematik und seiner Beharrlichkeit und analytischen Fähigkeit im Umgang mit speziellen relevanten Problemen, auch solchen mechanisch-dynamischer Natur.

Jacob Bernoulli entdeckte auch eine allgemeine Methode, um Evolute einer Kurve als die Hüllkurve ihrer Krümmungskreise zu bestimmen. Er untersuchte auch die Ätzkurven und untersuchte insbesondere die assoziierten Kurven der Parabel, der logarithmischen Spirale und der Epizykloiden um 1692. Das Lemniskat von Bernoulli wurde erstmals 1694 von Jacob Bernoulli erdacht. 1695 untersuchte er das Zugbrückenproblem, das die erforderliche Kurve sucht damit ein Gewicht, das entlang des Seils gleitet, immer die Zugbrücke im Gleichgewicht hält.

Jacob Bernoullis originellstes Werk war Ars Conjectandi, das 1713, acht Jahre nach seinem Tod, in Basel veröffentlicht wurde. Die Arbeit war zum Zeitpunkt seines Todes unvollständig, aber es ist immer noch ein Werk von größter Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. In dem Buch rezensierte Bernoulli Arbeiten anderer über die Wahrscheinlichkeit, insbesondere Arbeiten von van Schooten, Leibniz und Prestet. Die Bernoulli-Zahlen erscheinen in dem Buch in einer Diskussion der exponentiellen Reihe. Es werden viele Beispiele gegeben, wie viel man bei verschiedenen Glücksspielen zu gewinnen erwarten würde. Es gibt interessante Gedanken, was die Wahrscheinlichkeit wirklich ist [1]: –

… Wahrscheinlichkeit als messbare Gewissheit; Notwendigkeit und Zufall; moralische versus mathematische Erwartung; a priori eine a posteriori Wahrscheinlichkeit; Erwartung zu gewinnen, wenn Spieler nach Geschick geteilt werden; Berücksichtigung aller verfügbaren Argumente, ihrer Bewertung und ihrer berechenbaren Bewertung; Gesetz der großen Zahlen …
In [1] fasst Hofmann die Beiträge von Jacob Bernoulli wie folgt zusammen:
Bernoulli hat die Algebra, die Infinitesimalrechnung, die Variationsrechnung, die Mechanik, die Theorie der Reihen und die Wahrscheinlichkeitstheorie stark weiterentwickelt. Er war eigenwillig, eigensinnig, aggressiv, rachsüchtig, von Minderwertigkeitsgefühlen geplagt und dennoch fest von seinen eigenen Fähigkeiten überzeugt. Mit diesen Eigenschaften musste er zwangsläufig mit seinem ähnlich disponierten Bruder kollidieren. Letzteres hat er jedoch am nachhaltigsten beeinflußt.
Bernoulli war einer der bedeutendsten Befürworter der formalen Methoden der höheren Analyse. Gerissenheit und Eleganz finden sich selten in seiner Darstellungs- und Ausdrucksweise, aber es gibt ein Maximum an Integrität.
Jacob Bernoulli hielt den Lehrstuhl für Mathematik in Basel bis zu seinem Tod 1705 inne, als der Stuhl von seinem Bruder Johann besetzt wurde. Jakob hatte die Eigenschaften der logarithmischen Spirale immer als fast magisch empfunden und er hatte darum gebeten, dass er auf seinem Grabstein mit der lateinischen Inschrift “Eadem Mutata Resurgo” beschriftet wurde, was bedeutet: “Ich werde gleich auferstehen, wenn auch verändert”.